n阶行列式 第一个Dn=det（aij）其中aij=l i-j l 应该是绝对值的意思

题目

n阶行列式 第一个Dn=det（aij）其中aij=l i-j l 应该是绝对值的意思
第二个
（a-1）^(n-1) （a-2）^(n-1) …… （a-n）^(n-1)
（a-1）^(n-2) （a-2）^(n-2) …… （a-n）^(n-2)
...
a-1 a-2 …… a-n
1 1 …… 1

答案

(1) 所求行列式 =
0 1 2 ...n-1
1 0 1 ...n-2
2 1 0 ...n-3
......
n-1 n-2 ...0
依次作:ri - r(i+1),i=1,2,...,n-1
-1 1 1...1
-1 -1 1...1
-1 -1 -1 ..1
.
-1 -1 -1 ..1 (多写一行)
n-1 n-2 ..0
ci + cn,i=1,2,...,n-1
0 2 2 2...1
0 0 2 2...1
0 0 0 2 ..1
.
0 0 0...0 1
n-1 n-2 ..0
按第1列展开,得 (-1)^(1+n) * (n-1)*
2 2 2...1
0 2 2...1
0 0 2 ..1
.
0 0...0 1
上三角.行列式 = (-1)^(1+n) * (n-1)*2^(n-2).
(2) 将第n行与其上一行逐行交换,一直交换到第1行
同样,再将新的第n行与其上一行逐行交换,一直交换到第2行
...效果相当于行列式的行上下翻转
考虑到交换次数会影响行列式的正负号
将列进行同样的处理
...
最后行列式变为Vandemonde行列式:
1 1 …… 1
a-n a-(n-1) …… a-1
............
(a-n)^(n-2) (a-(n-1))^(n-2) …… (a-1)^(n-2)
(a-n)^(n-1) (a-(n-1))^(n-1) …… (a-1)^(n-1)
= (n-1)!(n-2)!...2!1!
注:尽量不要一问多题,况且这两个行列式都太麻烦,会一个不一定会两个,不好答的!