直角三角形ABC中,角A=90° AD⊥BC 求证AD+BC>AB+AC

题目

直角三角形ABC中,角A=90° AD⊥BC 求证AD+BC>AB+AC

答案

注意到AD·BC＝AC·AB(等号两边都等于三角形面积的两倍)及勾股定理可得
(AD＋BC)^2
＝AD^2＋2AD·BC＋BC^2
＝AD^2＋2AC·AB＋AB^2＋AC^2
＝AD^2＋(AB＋AC)^2
＞(AB＋AC)^2
∴AD＋BC＞AB＋AC