矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED=1：3，AE=3，则BD= _ ．

题目

矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED=1：3，AE=

3

，则BD= ___ ．

答案

如图（一）所示，AB是矩形较短边时，∵矩形ABCD，∴OA=OD=12BD；∵OE：ED=1：3，∴可设OE=x，ED=3x，则OD=2x∵AE⊥BD，AE=3，∴在Rt△OEA中，x2+（3）2=（2x）2，∴x=1∴BD=4．当AB是矩形较长边时，如图（二）所示...

由于AB为矩形的长边或短边不能确定，所以应分两种情况进行讨论：
AB是矩形较短边时可设出OE=x，ED=3x，然后在直角三角形OEA中利用勾股定理进行求解；
当AB是矩形较长边时，设OE=x，则ED=3x，在Rt△AOE中利用勾股定理可求出x的值，进而得出结论．

本题考点：矩形的性质；勾股定理．

考点点评：本题的关键是设出未知数，利用勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题．