如图已知A、BD,是△ABC的角平分线,DE,DF,分别是△BCD和三角形BAD的高求正BD垂直平分EF

题目

如图已知A、BD,是△ABC的角平分线,DE,DF,分别是△BCD和三角形BAD的高求正BD垂直平分EF

答案

证：∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB
∴∠ABD=∠CBD,∠DEB=∠DFB=90°
∵在△BDE和△BDF中
∠CBD=∠ABD
∠DEB=∠DFB
BD=BD
∴△BDE≌△BDF(AAS)
∴BE=BF
∵在△BOE和△BOF中 //BD、EF交于O
BO=BO
∠CBD=∠ABD
BE=BF
∴△BOE≌△BOF(SAS)
∴∠BOE=∠BOF,EO=FO
又∵∠BOE+∠BOF=180°
∴∠BOE=∠BOF=90°
∴BD⊥EF
又∵EO=FO
∴BD垂直平分EF