请问在高中数学里求最值是如何运用切比雪夫多项式的.

题目

请问在高中数学里求最值是如何运用切比雪夫多项式的.
是把二倍角公式cos2Θ=2(cosΘ)^2-1,cos3Θ=4(cosΘ)^3-3cosΘ 的右边cosΘ换成x,得到多项式2x^2-1和4x^3-3x.这两个多项式,又有什么特别的?这些切比雪夫多项式有什么性质?请各位大侠们能否给几个较好的例子?完全不懂额.又是如何通过它求出最值的?怎么求的.

答案

第一类Chebyshev多项式Tn(x)的最重要的逼近性质是：
在[-1,1]上所有首项系数为1的n次多项式中,Tn(x)/2^{n-1}对零的偏差最小,也就是说对于任何n次首一多项式p(x)都有max|p(x)| >= max|Tn(x)|/2^{n-1}.
这个性质的证明要利用Chebyshev交错点定理,应该超出高中知识范围了.这个性质直观的解释是多项式“比较硬”,首项确定之后就不可能通过弯折它让它很好地逼近零了.
作为应用一般来讲是解决min max|p(x)|型的最值问题,其中max的范围是在闭区间[a,b]上,min的范围是对所有满足某一约束的不超过n次的多项式.通常先利用仿射变换把标准区间[-1,1]上的Chebyshev多项式变换到区间[a,b]上再利用最佳逼近性质.