大一数学数列极限：Y1=10,Yn+1 = (6+Yn)^(1/2),证明极限存在并求极限值.

题目

大一数学数列极限：Y1=10,Yn+1 = (6+Yn)^(1/2),证明极限存在并求极限值.

答案

利用单调有界性.
单调性,数学归纳法y2=√(6+10)=4假设yky(k+1)-yk=√(6+yk)-√(6+y(k-1))=[yk-y(k-1)]/[√(6+yk)-√(6+y(k-1))]<0
所以数列单调减.
有界性：数学归纳法,y1=10<10
假设yk<10
y(k+1)==√(6+yk)<=√(6+10)=4<10
所以数列单调有界,存在极限.假设其极限为a
对Yn+1 = (6+Yn)^(1/2),取极限得
a=√(6+a)解得a=3
所以极限为3