利用定义判断函数f(x)=x+根号下(x2+1)在区间(-∞,+∞)上的单调性.

题目

利用定义判断函数f(x)=x+根号下(x2+1)在区间(-∞,+∞)上的单调性.

答案

若 p＞q,则 f(p)-f(q)=[p+√(1+p^2)]-[q+√(1+q^2)]
=(p-q)+[√(1+p^2)-√(1+q^2)]
=(p-q)+(p^2-q^2)/ [√(1+p^2)+√(1+q^2)]
=(p-q)【[√(1+p^2)+√(1+q^2)]+(p+q)】/[√(1+p^2)+√(1+q^2)]
=(p-q)【[√(1+p^2)+p]+[√(1+q^2)+q]】/[√(1+p^2)+√(1+q^2)]
＞0.
所以函数函数 f(x)=x+√(1+x^2) 在(-∞,+∞)单调增加.
【注】以上证明最关键之处为：
①分子有理化 √(1+p^2)-√(1+q^2)=(p^2-q^2)/ [√(1+p^2)+√(1+q^2)]；
②无论 x 取正取负,都有√(1+x^2)+x≥√(1+x^2)-|x|＞|x|-|x|=0.