如图,边长为a的等边△ABC的顶点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动,则动点C到原点O的距离的最大值是( ) A.32a−12a B.32a+12a C.62a−12a D.62a+12a
题目
如图,边长为a的等边△ABC的顶点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动,则动点C到原点O的距离的最大值是( )
A.
a−aB.
a+aC.
a−aD.
a+a
答案
由题意得:当OA=OB时,连接OC,可得OC最大,如图所示,
由对称性可得OC⊥AB,
∵△AOB为等腰直角三角形,AB=a,
∴OD=
AB=
a,
在Rt△BCD中,BC=a,BD=
a,
根据勾股定理得:CD=
a,
则OC=OD+DC=
a+
a.
故选B.
由题意得到当OA=OB,即三角形AOB为等腰直角三角形时,OC最大,画出相应的图形,连接OC,交AB与点D,由对称性得到OC垂直于AB,利用三线合一得到D为AB的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半表示出OD的长,在直角三角形BCD中,利用勾股定理表示出CD的长,由OD+DC即可求出OC的长.
直角三角形斜边上的中线;坐标与图形性质;三角形三边关系;等边三角形的性质.
此题考查了直角三角形斜边上的中线性质,等边三角形的性质,以及勾股定理,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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