过圆内一点的最短弦为什么垂直于这个点所在的直径,

题目

过圆内一点的最短弦为什么垂直于这个点所在的直径,
对不起，我没学过相交弦定理，^-^

答案

根据圆内相交弦定理：过圆内一点的任何一条弦被这个分成的两段之积为一定值
设圆内一点p,任意过p的一条弦被分为a,b两段
根据相交弦定理,姑且设这一定值为s
则ab＝s
求a+b最小
用均值定理a+b>=2*（ab）^2
以上取等号得条件是a＝b
故a＝b时,弦最短
连接圆心与点p,及弦与圆的交点与圆心
两条半径相等,为等腰三角形
底边点p为中点,所以根据等腰三角形性质,点p与圆心的连线为底边上的垂线,证毕