若x、y是正数.x、a、b、y四个数成等差数列，x、m、n、y四个数成等比数列.则(a+b)2mn的取值范围是（　　） A.[2，+∞） B.（0，+∞） C.（0，4] D.[4，+∞）

题目

若x、y是正数.x、a、b、y四个数成等差数列，x、m、n、y四个数成等比数列.则

(a+b)2

mn

的取值范围是（　　）
A. [2，+∞）
B. （0，+∞）
C. （0，4]
D. [4，+∞）

答案

根据题意，x、a、b、y四个数成等差数列，则a+b=x+y，x、m、n、y四个数成等比数列，则mn=xy，则(a+b)2mn=(x+y)2xy=yx+xy+2，又由x、y是正数，可得yx、xy都是正数，则(a+b)2mn=yx+xy+2≥2xy•yx+2=4，即(a+b)2mn的最小...

由等差数列的性质可得a+b=x+y，由等比数列的性质可得mn=xy，进而可得

(a+b)2

mn

=

(x+y)2

xy

=

y

x

+

x

y

+2，由基本不等式计算可得

(a+b)2

mn

的最小值，可得

(a+b)2

mn

的范围，即可得答案．

本题考点：基本不等式；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评：本题考查基本不等式的应用和等比、等差数列的性质及应用，关键是利用等比、等差数列的性质将

(a+b)2

mn

用x、y表示出来．