f(x)=ax²+bx+c,当绝对值x≤1时,有绝对值f(x)≤1,求g(x)=绝对值（cx²-bx+a）,绝对值x≤1的最大值

题目

f(x)=ax²+bx+c,当绝对值x≤1时,有绝对值f(x)≤1,求g(x)=绝对值（cx²-bx+a）,绝对值x≤1的最大值

答案

由题可知,绝对值a+b+c≤1,绝对值a-b+c≤1,所以绝对值（a+b+c）+（a-b+c）≤绝对值a+b+c+绝对值a-b+c≤2,化简可得2绝对值（a+c)≤2,绝对值a+绝对值c≤4,因为绝对值g(x）-绝对值f(x）《绝对值(f(x)+g(x))=绝对值(a+c)x的平方+(a+c),当x=1,或x=-1是有最大值,即绝对值g(x）-绝对值f(x）《2绝对值（a+c)=4,所以绝对值g(x)<=绝对值f(x)+4<5,所以g(x）的最大值为5.