如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=2，BE=22．求CD的长和四边形ABCD的面积．

题目

如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=

2

，BE=2

2

．求CD的长和四边形ABCD的面积．

答案

过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=

2

，
∴EH=DH，
∵EH²+DH²=ED²，
∴EH²=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴DC=2，HC=

3

，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，
BE=2

2

，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+

3

=3+

3

，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

×2×（3+

3

）+

1

2

×1×（3+

3

）=

3 3 +9

2

．

利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．

本题考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．

考点点评：此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．