abc是正实数,满足条件a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2+2(3abc)^(1/2)的最大值是?

题目

abc是正实数,满足条件a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2+2(3abc)^(1/2)的最大值是?

答案

最大值是1.
a²+b²+c²+2√3·√(abc)
= a²+b²+c²+2√(3abc(a+b+c))
= a²+b²+c²+2√(3((ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab)))
≤ a²+b²+c²+2√((ab+bc+ca)²) (在不等式(x+y+z)² ≥ 3(xy+yz+zx)中取x = ab,y = bc,z = ca)
= a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
= (a+b+c)²
= 1.
当a = b = c = 1/3时等号成立,故最大值就是1.