求最值

题目

求最值
已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1
求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合
求在[派/5,3派/4]上的最大值和最小值

答案

先化简f(x)
f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1

=2cosxsinx - 2cosx^2 + 1

=sin2x - cos2x
=根号2·[sin2x·(根号2)/2 - cos2x·(根号2)/2]

=根号2·sin (2x -∏/4）
(1)f(x)最小值为：-根号2
此时sin (2x -∏/4）= - 1
则：2x -∏/4 = 2k∏ - ∏/2 ,k为整数
从而得： x = k∏ - ∏/8,k 为整数
即 {x|x = k∏ - ∏/8,k 为整数}
(2) x 在[∏/5,3∏/4]上
则：t = 2x - ∏/4 在[3∏/20,5∏/4]
①sint 在 t = ∏/2时,取得最大值 1
从而f（x）的最大值为 根号2
②sint 在 t = 5∏/4时,取得最小值 -（根号2）/2
从而f（x）的最小值为 根号 2×[-（根号2）/2]= -1