什么是三角代换?如何用它求y=根号（1-x）-根号x的值域?

题目

什么是三角代换?如何用它求y=根号（1-x）-根号x的值域?

答案

由1-x≥0,x≥0解得0≤x≤1
设x=sin²a,a∈［0,π/2］
则1-x=cos²a
所以y=√cos²a-√sin²a
=cosa-sina
=√2（√2/2cosa- √2/2 sina）
=√2（sinπ/4cosa-cosπ/4sina）
=√2sin（π/4-a）
因为π/4-a∈［-π/4,π/4］
所以-√2/2≤sin（π/4-a）≤√2/2
所以-1≤√2sin（π/4-a）≤1
即原函数的值域［-1,1］