如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BD与AE、AF分别相交于G、H. (1)求证:△ABE∽△ADF; (2)若AG=AH,求证:四边形ABCD是菱形.

如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BD与AE、AF分别相交于G、H. (1)求证:△ABE∽△ADF; (2)若AG=AH,求证:四边形ABCD是菱形.

题目
如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BD与AE、AF分别相交于G、H.
(1)求证:△ABE∽△ADF;
(2)若AG=AH,求证:四边形ABCD是菱形.
答案
证明:(1)∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90度.(2分)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABE=∠ADF.(4分)
∴△ABE∽△ADF.(5分)
(2)∵△ABE∽△ADF,
∴∠BAG=∠DAH.
∵AG=AH,
∴∠AGH=∠AHG,
从而∠AGB=∠AHD,
∴△ABG≌△ADH,(8分)
∴AB=AD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.(10分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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