设函数f(x)=|x^3-1|ψ(x),其中ψ(x)在x=1处连续,则ψ(x)=0是f(x)在x=1处可导的充分必要条件?

题目

设函数f(x)=|x^3-1|ψ(x),其中ψ(x)在x=1处连续,则ψ(x)=0是f(x)在x=1处可导的充分必要条件?

答案

充分性：
ψ(x)=0,x>=1时,f(x)=(x^3-1)ψ(x),f'(x)=3x^2ψ(x)+(x^3-1)ψ'(x),故f'(1)=f'(1+)=3ψ(1)+0*ψ'(1)=0
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