求一个简单的二维概率密度

题目

求一个简单的二维概率密度
设随机变量X,Y相互独立,他们的概率密度均为f(X)=EXP(-X);其中x>0.求Z=Y/X的概率密度.

答案

设z为实数,则P(Z<=z)=P(zX-Y>=0)
而由X,Y相互独立知他们的联合概率密度f(x,y)=e^(-x-y)(x>0,y>0)
所以P(zX-Y>=0)=e^(-x-y)在平面区域zx>=y上的积分.
当z<=0时,直线zx=y不过第一象限,所以显然积分值是0
当z>0时,不难算得这个积分值为z/(1+z)
至此算得P(Z<=z)=z/(1+z)(z>0)
上式对z求导得f(z)=1/(1+z)^2(z>0)