已知函数f（x）=x2+2xsinθ-1，x∈[−32，1/2] （1）当θ＝π6时，求f（x）的最大值和最小值； （2）若f（x）在x∈[−32，1/2]上是单调增函数，且θ∈[0，2π），求θ的取

题目

已知函数f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[−

3

2

，

1

2

]
（1）当θ＝

π

6

时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[−

3

2

，

1

2

]上是单调增函数，且θ∈[0，2π），求θ的取值范围．

答案

解（1）θ＝

π

6

时，f(x)＝x2+x−1＝(x+

1

2

)2−

5

4

由x∈[−

3

2

，

1

2

]，当x＝−

1

2

时，f（x）有最小值为−

5

4

当x＝

1

2

时，f（x）有最大值为−

1

4

（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的图象的对称轴为x=-sinθ，
由于f（x）在x∈[−

3

2

，

1

2

]上是单调增函数      
所以−sinθ≤−

3

2

，
即sinθ≥

3

2

，又∵θ∈[0，2π）
所求θ的取值范围是[

π

3

，

2π

3

]．

（1）由题目条件，可以确定函数的解析式f(x)＝x2+x−1＝(x+

1

2

)2−

5

4

，从而利用二次函数的单调性求得函数f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（x）在x∈[−

3

2

，

1

2

]上是单调增函数，利用对称轴与给定区间的关系，求出−sinθ≤−

3

2

，即可得到θ的取值范围．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题主要考查了二次函数的单调性，利用配方求得其对称轴，结合函数的图象直观形象，是个中档题．