设函数f(x)=(a/2)x的平方-1+cosx(a大于0) (1)当a=1时,证明函数y=f(x)在(0,正无穷)上是增函数
题目
设函数f(x)=(a/2)x的平方-1+cosx(a大于0) (1)当a=1时,证明函数y=f(x)在(0,正无穷)上是增函数
(2)若y=f(x)在(0,正无穷)上是单调增函数,求正数a的范围
答案
(1)f(x)=(a/2)x²-1+cosx(a>0)
求导f'(x)=ax-sinx
当a=1时f'(x)=x-sinx
接下来证明在(0,+∞)上f'(x)>0一定成立
令g(x)=x-sinx
则g'(x)=1-cosx≥0恒成立(根据cosx≤1)
故g(x)在(0,+∞)是增函数
所以g(x)>g(0)=0 即x-sinx>0
所以在(0,+∞)上f'(x)>0一定成立
所以y=f(x)在(0,+∞)上是增函数
(2)因y=f(x)在(0,+∞)上是增函数
故f'(x)=ax-sinx≥0在(0,+∞)上恒成立
即ax≥sinx在(0,+∞)上恒成立
构造两个函数y=ax和y=sinx
题意就变成y=ax的图象在(0,+∞)上恒在y=sinx的上方
当y=ax和y=sinx相切时,y=ax就是y=sinx在x=0处的切线,斜率为1,即a=1
故以满足条件的a的范围是a≥1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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