求函数值域

题目

求函数值域
y=sin2x/sinx+cosx值域
y=sinxcosx+sinx+cosx-1的值域
第一小问是y=sin2x/(sinx+cosx)

答案

令a=cosx,b=sinx
再令t=a+b=√2sin(x+π/4), 则t^2=1+2ab
1）
则y=sin2x/(sinx+cosx)=2ab/t=(t^2-1)/t=t-1/t
y'=1+1/t^2>0,函数关于t单调增
因为|t|<=√2,
t=√2时,y=1/√2, t=0+时,y为负无穷
t=-√2时,y=-1/√2,t=0-时,y为正无穷
因此y的值域为R
2）y=ab+a+b-1=(t^2-1)/2+t-1=1/2*(t+1)^2-2
当t=-1时,y取最小值为-2
当t=√2时,y取最大值为-1/2+√2
所以y的值域为[-2,-1/2+√2]