已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx(a,b为常数）在x= -1,x=3处的导数值为0

题目

已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx(a,b为常数）在x= -1,x=3处的导数值为0
（1）求a,b的值
（2）求曲线y=f(x)上一点P（1,y)的切线方程
（3）求f(x)的单调递增区间

答案

(1)
f(x)=x^3-ax^2+bx
f'(x)=3x^2-2ax+b
f'(-1)=3+2a+b=0 1
f'(3)=27-6a+b=0 2
1式-2式得
-24+8a=0
a=3 3
3式代入1式得
b=-9

(2)
f(x)=x^3-3x^2-9x
y(1)=1-3-9=-11
y'=3x^2-6x-9
k=y'(1)=3-6-9=-12
所以切线方程是
y+11=-12(x-1)
y=-12x+12-11
=-12x+1

(3)
f(x)=x^3-3x^2-9x
f'(x)=3x^2-6x-9=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3 x=-1
当x0
所以在区间(3,+∞)为增区间