1＋x＋x²＋x³＋…＝1／（1－x）?x在-1与1之间,求这个无穷几何级数的推导.

题目

1＋x＋x²＋x³＋…＝1／（1－x）?x在-1与1之间,求这个无穷几何级数的推导.

答案

假设S = 1 + x + x^2 + ...
则xS = x * (1 + x + x^2 + ...)
= x + x^2 + ...
所以xS + 1 = 1 + x + x^2 + x^3 + ...= S
因此xS + 1 = S
所以(1-x)S = 1
即S = 1/(1-x)