已知关于x的函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6. (Ⅰ)当函数图象经过点(0,1)时,求f(x)的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试证明函数有两个不相等的零点,且分别在区间(0,1)和(6

已知关于x的函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6. (Ⅰ)当函数图象经过点(0,1)时,求f(x)的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试证明函数有两个不相等的零点,且分别在区间(0,1)和(6

题目
已知关于x的函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.
(Ⅰ)当函数图象经过点(0,1)时,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试证明函数有两个不相等的零点,且分别在区间(0,1)和(6,7)内.
答案
(Ⅰ)当函数图象经过点(0,1)时,必有f(0)=2m+6=1,
解得m=
5
2
,故f(x)的解析式为f(x)=x2-7x+1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=x2-7x+1,
∵△=(-7)2-4=45>0,∴方程x2-7x+1=0有两个不相等的实根,
∴函数f(x)=x2-7x+1有两个不相等的零点,
又因为f(0)=1,f(1)=-5,f(6)=-5,f(7)=1
所以f(0)•f(1)<0,f(,6)•f(7)<0,
由零点的存在性定理可得:函数的零点分别在区间(0,1)和(6,7)内.
(Ⅰ)由f(0)=1,可建立关于m的方程,解之即可得f(x)的解析式;(Ⅱ)由△>0,可得函数有两个不相等的零点,再由零点的判断定理可得他们分别在区间(0,1)和(6,7)内.

函数零点的判定定理;函数解析式的求解及常用方法.

本题考查函数零点的判断定理,涉及函数解析式的求解,属基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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