问一道二阶微分方程提?

题目

问一道二阶微分方程提?
y*y''-(y')^2=(y^2)*(lny)
如何求y的值?
能否直接求出y的值?
比如令z=ln(y)

答案

设dy/dx=p ==>y''=pdp/dy
代入原方程整理得 ypdp/dy=p²+y²lny.(1)
先解(1)齐次方程 ypdp/dy=p²
==>ydp=pdy
==>dp/p=dy/y
==>ln│p│=ln│y│+ln│C│ (C是积分常数)
==>p=Cy
∴齐次方程得通解是p=Cy (C是积分常数)
于是,设方程(1)的通解为p=C(y)y (C(y)表示关于y的函数)
代入方程(1)整理得C(y)d[C(y)]=lnydy/y
==>C(y)d[C(y)]=lnyd(lny)
==>[C(y)]²/2=(lny)²/2+C1²/2 (C1是积分常数)
==>[C(y)]²=(lny)²+C1²
==>C(y)=±√[(lny)²+C1²]
∴方程(1)的通解是p=±y√[(lny)²+C1²] (C1是积分常数)
==>dy/dx=±y√[(lny)²+C1²]
==>dy/{y√[(lny)²+C1²]}=±dx
==>d(lny)/√[(lny)²+C1²]=±dx
==>ln│lny+√[(lny)²+C1²]│=±x+ln│C2│ (C2是积分常数)
==>lny+√[(lny)²+C1²]=C2e^(±x)
故原方程得通解是lny+√[(lny)²+C1²]=C2e^(±x) (C1,C2是积分常数)