12、由△ABC的顶点A作高AD,以垂足D为圆心,AD为半径作圆,分别交AB、AC于E、F,若AE=2,AF=3,AB=5,则AC=?为什么?

题目

12、由△ABC的顶点A作高AD,以垂足D为圆心,AD为半径作圆,分别交AB、AC于E、F,若AE=2,AF=3,AB=5,则AC=?为什么?

答案

在直角△ADB中,过D作DM⊥AB于M,则
容易得∠MAD=∠DAB,∠AMD=∠ADB
∴△ADM∽△ABD
∴AD/AB=AM/AD
∴AD²=AM*AB
根据垂径定理,得AM=EM=(1/2)AE
∴AD²=(1/2)AE*AB
同理,在直角△ADC中,过D作DN⊥AC于N,则同样有
AD²=(1/2)AF*AC
∴AE*AB=AF*AC
∵AE=2,AF=3,AB=5
∴AC=AE*AB/AF=10/3