f(x)=-x^2/2+2x+blnx在(1,正无穷大)上是减函数,则b的取值范围

题目

f(x)=-x^2/2+2x+blnx在(1,正无穷大)上是减函数,则b的取值范围
导数

答案

f'(x)=-x+2+b/x,在(1,+∞)上小于0就可以了.
就要分情况讨论了,b=0时显然不成立,因为-x+2在(1,+∞)上不恒小于0.
1°b>0,这个函数在(1,+∞)上递减,只要f'(1)≤0即可,故-1+2+b≤0,解得b≤-1,与b>0没有交集,无解.
2°b<0,函数在(0,√-b)上递增,在(√-b,+∞)上递减,因此还要分两种情况.
(1).√-b≤1,这样函数就在(1,+∞)上递减,只要f'(1)≤0即可,故-1+2+b≤0,解得b≤-1而√-b≤1得到b≥-1,只有b=-1.
(2)√-b>1,在(1,+∞)上有最大值f(√-b)=-2√-b +2<0,√-b>1,有b<-1.
综上所述,b的取值范围(-∞,-1].