答完追10分.公式法证明题

题目

答完追10分.公式法证明题
x>=o,y>=0.证明.(x+y)^2/2+(x+y)/4>=(x*y^0.5)+(y*x^0.5)

答案

因为(x+y)^2>=4xy ,x^2+y^2>=(1/2)(x+y)^2
所以 原式>=(1/2)*4xy+(1/4)*(1/2)(√x+√y)^2
=2xy+(1/8)(√x+√y)^2
>=2√(2xy*(1/8)(√x+√y)^2)
=x√y+y√x
由完全平方不等式
1/2*(x+y)^2+1/4*(x+y)
≥2xy+1/4*(x+y)
=(xy+1/4*x)+(xy+1/4*)
≥2√(xy*1/4*x)+2√(xy*1/4*)
=x√y+y√x
得证