如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E. (

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E. (

题目
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E.

(1)求证:∠CBP=∠ABP;
(2)求证:AE=CP;
(3)当
CP
PE
3
2
,BP′=5
5
时,求线段AB的长.
答案
(1)证明:∵AP′是AP旋转得到,
∴AP=AP′,
∴∠APP′=∠AP′P,
∵∠C=90°,AP′⊥AB,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,
又∵∠BPC=∠APP′(对顶角相等),
∴∠CBP=∠ABP;
(2)证明:如图,过点P作PD⊥AB于D,
∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,
∴CP=DP,
∵P′E⊥AC,
∴∠EAP′+∠AP′E=90°,
又∵∠PAD+∠EAP′=90°,
∴∠PAD=∠AP′E,
在△APD和△P′AE中,
∠PAD=∠AP′E
∠ADP=∠P′EA=90°
AP=AP′

∴△APD≌△P′AE(AAS),
∴AE=DP,
∴AE=CP;

(3)∵
CP
PE
=
3
2

∴设CP=3k,PE=2k,
则AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,
在Rt△AEP′中,P′E=
(5k)2−(3k)2
=4k,
∵∠C=90°,P′E⊥AC,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠EPP′=90°,
∵∠BPC=∠EPP′(对顶角相等),
∴∠CBP=∠EP′P,
又∵∠CBP=∠ABP,∴∠ABP=∠EP′P,
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,
∴△ABP′∽△EPP′,
AB
P′E
=
P′A
PE

AB
4k
=
P′A
2k

解得P′A=
1
2
AB,
在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2
即AB2+
1
4
AB2=(5
5
2
解得AB=10.
(1)根据旋转的性质可得AP=AP′,根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P,再根据等角的余角相等证明即可;
(2)过点P作PD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=DP,从而得证;
(3)设CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3k,AP′=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P′E=4k,再求出△ABP′和△EPP′相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=
1
2
AB,然后在Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可.

全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.

本题考查了全等三角形的判定与性质,旋转的性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出P′A=

1
2
AB是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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