在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积

题目

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．

（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

答案

（1）证明：如图，连接OE
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；
（2）设⊙O半径为r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴

AO

AB

＝

OE

BC

，
即

r+4

2r+4

＝

r

6

，
∴r²-r-12=0，
解之得r₁=4，r₂=-3（舍），
经检验，r=4是原分式的解．
∴S_⊙O=πr²=16π．

（1）作辅助线，连接OE，根据切线的性质知OE⊥AC，已知∠ACB=90°，可知OE∥BC，得∠OED=∠F，再根据OD=OE，可知∠ODE=∠OED，从而可得∠ODE=∠F，BD=BF；
（2）根据△AOE∽△ABC，可将⊙O的半径求出，代入圆的面积公式S_⊙O=πr²，计算即可．

本题考点：切线的性质；相似多边形的性质．

考点点评：本题考查了圆的切线性质及相似三角形的判定定理，有一定的综合性．