在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F. (1)求证:BD=BF; (2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面积

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F. (1)求证:BD=BF; (2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面积

题目
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F.

(1)求证:BD=BF;
(2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面积.
答案
(1)证明:如图,连接OE
∵AC切⊙O于E,
∴OE⊥AC,
又∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴OE∥BC,
∴∠OED=∠F,
又OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠ODE=∠F,
∴BD=BF;
(2)设⊙O半径为r,
由OE∥BC得△AOE∽△ABC,
AO
AB
OE
BC

r+4
2r+4
r
6

∴r2-r-12=0,
解之得r1=4,r2=-3(舍),
经检验,r=4是原分式的解.
∴S⊙O=πr2=16π.
(1)作辅助线,连接OE,根据切线的性质知OE⊥AC,已知∠ACB=90°,可知OE∥BC,得∠OED=∠F,再根据OD=OE,可知∠ODE=∠OED,从而可得∠ODE=∠F,BD=BF;
(2)根据△AOE∽△ABC,可将⊙O的半径求出,代入圆的面积公式S⊙O=πr2,计算即可.

切线的性质;相似多边形的性质.

本题考查了圆的切线性质及相似三角形的判定定理,有一定的综合性.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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