设L是椭圆周2x^2+y^2=1,n是L的外法向量,f(x,y)=(x-2)^2+y^2,求∮∂f/∂n ds

题目

设L是椭圆周2x^2+y^2=1,n是L的外法向量,f(x,y)=(x-2)^2+y^2,求∮∂f/∂n ds

答案

首先证明一个公式：∮(∂f/∂n)ds=∫∫Δfdxdy.由于∂f/∂n=∂f/∂x*cos(n,x)+∂f/∂y*cos(n,y)
,所以(∂f/∂n)ds=∂f/∂x*ds*cos(n,x)+∂f/∂y*ds*cos(n,y)=∂f/∂x*dy-∂f/∂y*dx,应用格林公式,有∮(∂f/∂n)ds=∫∫(∂^2f/∂x^2*+∂^2f/∂y^2)dxdy=∫∫Δfdxdy.本题中Δf=2+2=4,故利用上面的公式,所求积分=∫∫4dxdy=4∫∫dxdy,而∫∫dxdy等于积分区域的面积,本题中椭圆面积=πab=(√2/2)π,因此积分=(2√2)π