1.对每个正整数n,用S（n）表示n的各位数字之和,那么有（ ）个n使得n+S(n)+S（S（n））=2010成立

题目

1.对每个正整数n,用S（n）表示n的各位数字之和,那么有（ ）个n使得n+S(n)+S（S（n））=2010成立
2.定义函数f（x）=2x 若0≤x≤0.5 和 2-2x 若0.5＜x≤1
令f[1](x)=f(x),f[2](x)=f(f(x)),……,f[n+1](x)=f(f[n](x)),n是正整数.在0≤x≤1的范围内,共有（ ）个x值可使 f[2010](x)=0.5
3.根号下x+根号下y=2010乘根号下2010共有（ ）组整数解

答案

1.n一定是4位数.不然5位数太大.三位数的话.s(n)最大27.s(s(n))最大10 这就小了.
那么s(n)最大9999 36.在1-36中 取s(x) 知道最大的是29 11 所以后面两个加起来最大47 最小2
所以n只能在 1963到2008 这就又导致sn最大1999 28 s(sn)最大10 两个之和最小2.2000的时候取.
于是n的范围缩小到1972到2008 这时候再套 发现有2002 在小于2000的中间 1990以上太大
再一个个来.1984可以.1981 1978都行..共4种.
中间验算的时候有个小技巧.从大到小验算.假如n,sn的值个位都不等于0,那么其实n-1验算最终结果就是n的结果-3.
2,我理解为分段.fx的定义:0-0.5等于2x 0.5-1等于2-2x
反过来.看看到底对于一个y.假如f(x)=y.x可能是什么值.实际上有两种可能.一种是1/2y,一种是1-1/2y.(注意!,这里因为Y在0-1之间.所以1/2y正好在0-0.5之间.1-1/2y正好在0.5-1之间,才能相等)
于是f[2009](x)可能是1/4,3/4两种.同样的2008可能是8分之1,3,5,7 4种.2007可能是16分之1357.(用上面的除以2)再用1减去前面4个.共8中.以此类推.最终结果是2的2010次方.
3,先都化成最简形式.a倍根号b+c倍根号d=2010倍根号2010.你会发现2010不能拆出去了
2010=30*67 不含完全平方数因数.
所以b=d=2010.所以只要看 a+c+2010有多少组整数解( 注意由于x,y都在根号下 所以肯定大于等于0) 所以共有(0,2010),(1,2009),(2,2008)...(2010,0)共2011组整数解.