如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E，BA、CE延长线相交于F点． 求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．

题目

如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．
求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．

答案

证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE．
∵CE⊥BD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
又∵BE=BE，
∴△BEF≌△BEC，
∴BF=BC，即△BCF等腰三角形．
（2）∵BF=BC，CE⊥BD，
∴CF=2CE=2EF，
∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠AFE=90°，
∴∠ADB=∠BFE，
又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF=2CE．

根据已知利用AAS判定△BEF≌△BEC，从而得到BF=BC，即△BCF等腰三角形；
由已知可得CF=2CE=2EF，利用AAS判定△ABD≌△ACF，从而得到BD=CF=2CE．

本题考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．