在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长都等于a,D.F分别为AC1 ,BB1的中点.求证DF为异面直线AC1和BB1的公垂线,

题目

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长都等于a,D.F分别为AC1 ,BB1的中点.求证DF为异面直线AC1和BB1的公垂线,

答案

1)连接AF,C1F,
证明三角形ABF与三角形CB1F全等,
所以AF=C1F,
所以,三角形FAC为等腰三角形,且D为底边AC中点,
所以DF垂直于AC1,
取AA1中点E,连接DF,EF,
∵E,D,F分别为AA1,AC1,BB1中点,
∴DE//A1C1,EF//A1B1,
∵BB1垂直于底面,
∴BB1垂直于A1B1,BB1垂直于A1C1,
∴BB1垂直于EF,BB1垂直于DE,
∴BB1垂直于平面DEF,
∴BB1垂直于DF,
∴DF为公垂线段