如图：在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E是BC上两点,且∠DAE=45°,求证：以BD、DE、和EC为边可以构成一个直角三角形.

题目

如图：在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E是BC上两点,且∠DAE=45°,求证：以BD、DE、和EC为边可以构成一个直角三角形.

答案

∵∠BAC=90°,AB=AC
∴∠B=∠ACB=45°
 
将△ABD绕A旋转到AC和AB重合,得△ABD≌△ACF,连接EF
∴AD=AF,BD=CF
∠BAD=∠FAC,∠B=∠ACF=45°
∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°
即∠ECF=90°
∵∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°
∴∠CAE+∠FAC=∠EAF=45°
∴∠DAE=∠EAF
∵AE=AE
AD=AF
∴△ADE≌△AEF(SAS)
∴DE=EF
在RT△EFC中：EF²=CE²+CF²
∴DE²=CE²+BD²