已知函数f（x）=-1+loga（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）=(1/2)x−1． （1）函数y=f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标； （2）若函数F（x）=f（x）-g（x）的图象过点（

题目

已知函数f（x）=-1+log_a（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）=(

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)x−1．
（1）函数y=f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）的图象过点（2，

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2

），证明：方程F（x）=0在x∈（1，2）上有唯一解．

答案

（1）由log_a1=0可得f（-1）=-1+log_a1=-1，故A（-1，-1）
（2）∵F(x)＝−1+loga(x+2)−(

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)x−1过(2，

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)
∴a=2
∴F(x)＝−1+log2(x+2)−(

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)x−1
∵y＝log2(x+2)，y＝(

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)x−1分别为（-2，+∞）上的增函数和减函数
∴F（x）为（-2，+∞）上的增函数
∴F（x）在（-2，+∞）上至多有一个零点
又（1，2）⊂（-2，+∞）
∴F（x）在（1，2）上至多有一个零点
而F(2)＝−1+2−(

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)+1＝

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＞0F(1)＝−1+log23−(

1

2

)0＝log23−2＜0
∴F（x）=0在（1，2）上有唯一解

（1）由log_a1=0可得y=f（x）的图象恒过定点A的坐标；
（2）将点（2，

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）代入F（x）的解析式，求出a，利用根的存在性定理和函数的单调性证明即可．

本题考点：函数的零点与方程根的关系；对数函数的单调性与特殊点；函数与方程的综合运用．

考点点评：本题考查对数函数的性质、函数图象的交点问题、根的存在性定理等知识．