设函数f(x)=a-2/2x+1 (1)求证:f(x)是增函数; (2)求a的值,使f(x)为奇函数; (3)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.
题目
设函数f(x)=a-
(1)求证:f(x)是增函数;
(2)求a的值,使f(x)为奇函数;
(3)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.
答案
(1)证明:任取x
1,x
2∈R,且x
1<x
2f(x
1)-f(x
2)=a-
-a+
=
(2分)
∵y=2
x在(-∞,+∞)上递增,而x
1<x
2∴
2x1<
2x2∴
2x1-
2x2<0(4分)
又(
2x1+1)(
2x2+1)>0∴f(x
1)-f(x
2)<0,即f(x
1)<f(x
2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数(6分)
(2)f(x)为奇函数,f(0)=a-
=a-1=0∴a=1
经检验,a=1时f(x)是奇函数(10分)
(3)由(2)知,f(x)=1-
∵2
x+1>1∴0<
<1∴f(x)∈(-1,1)(14分)
(1)单调性的证明,要设出单调区间上的自变量x1<x2,作差f(x1)-f(x2)在进行化简,分解成因式的积或商的形式,来判断符号,(2)要充分利用函数的奇偶性的概念,对于奇函数有一个结论:奇函数在x=0处有定义,则有f(0)=0,本题可以充分利用这一点来求参数a的值.(3)可有(2)的结论求出f(x)的解析式后,求函数的值域.
函数单调性的判断与证明;函数的值域;函数奇偶性的判断.
本题考查了函数的单调性,奇偶性的概念及其判断、证明,函数的值域的求法.对于利用定义来证明函数的单调性要注意做差后对式子f(x1)-f(x2)的化简,利用符号法则来判断其符号.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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