如图,F1、F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,A、B为双曲线的顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为_.

如图,F1、F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,A、B为双曲线的顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为_.

题目
如图,F1、F2为双曲线C:
x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的焦点,A、B为双曲线的顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为______.
答案
由题意可知,圆的方程为x2+y2=c2,双曲线的渐近线方程为y=
b
a
x

将其代入圆的方程得M(a,b),N(-a,-b).因为∠BAM=30°.
连接MB,在Rt△MAB中,tan∠BAM=
MB
AB
=
b
2a
=
3
3

b
a
2
3
3

所以e=
c
a
=
1+(
b
a
)
2
=
21
3

故答案为:
21
3
由题意求出圆的方程,双曲线的渐近线方程,通过∠MAB=30°求出a,b的关系,然后求出双曲线的离心率.

双曲线的简单性质;圆的标准方程.

本题考查双曲线的简单性质,考查圆的方程的应用,考查计算能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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