如图,F1、F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,A、B为双曲线的顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为_.
题目
如图,F
1、F
2为双曲线
C:−=1(a>0,b>0)的焦点,A、B为双曲线的顶点,以F
1F
2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为______.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d3d539b6003af3bd5b3bd4362ac65c1138b6a5.jpg)
答案
由题意可知,圆的方程为x
2+y
2=c
2,双曲线的渐近线方程为y=
x,
将其代入圆的方程得M(a,b),N(-a,-b).因为∠BAM=30°.
连接MB,在Rt△MAB中,tan∠BAM=
=
=
,
=,
所以e=
=
=
.
故答案为:
.
由题意求出圆的方程,双曲线的渐近线方程,通过∠MAB=30°求出a,b的关系,然后求出双曲线的离心率.
双曲线的简单性质;圆的标准方程.
本题考查双曲线的简单性质,考查圆的方程的应用,考查计算能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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