若点N（a，b）满足方程关系式a2+b2-4a-14b+45=0，则u＝b−3a+2的最大值为 _ ．

题目

若点N（a，b）满足方程关系式a²+b²-4a-14b+45=0，则u＝

b−3

a+2

的最大值为 ___ ．

答案

方程a²+b²-4a-14b+45=0，即 （a-2）²+（b-7）²=8，表示圆心在（2，7），半径等于2

2

 的一个圆．
μ=

b-3

a+2

表示圆上的点（ a，b）与点（-2，3）连线的斜率．
设过（-2，3）的圆的切线斜率为 k，则切线方程为  y-3=k（x+2），即  kx-y+2k+3=0，
由圆心到切线的距离等于半径得

|2k-7+2k+3|

k2+1

=2

2

，解得 k=2+

3

，或 k=2-

3

，
∴2-

3

≤μ≤2+

3

 故μ=

b-3

a+2

的最大值为2+

3

，
故答案为：2+

3

．

方程a²+b²-4a-14b+45=0，表示圆心在（2，7）、半径等于2

2

 的一个圆，μ=

b−3

a+2

表示圆上的点（ a，b）与点（-2，3）连线的斜率，由圆心到切线的距离等于半径求得斜率的取值范围，可得μ 的最大值．

本题考点：直线与圆相交的性质．

考点点评：本题考查圆的标准方程，直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用．