若正整数a、b、c满足方程a^2+b^2=c^2,则称这一组正整数(a、b、c)为“商高数”,下面列举四组“商高数”：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（12,16,20）,注意这四组

题目

若正整数a、b、c满足方程a^2+b^2=c^2,则称这一组正整数(a、b、c)为“商高数”,下面列举四组“商高数”：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（12,16,20）,注意这四组商高数的结构有如下规律：4=2?3=2^2-1^2 5=2^2+1^2 12=2?5=3^2-2^2 13=3^2+2^2 24=2?7=4^2-3^3 25=4^2+3^2 16=2?12=4^2-2^2 20=4^2+2^2 问：用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数,并说明你的结论.

答案

m2＋n2（斜边） m2－n2（一直角边） 2mn（另一直角边） （注：其实这是古巴比伦人发现的勾股数通式） 证明：∵（m2＋n2）2－（m2－n2）＝4m2n2 【公式：（a＋b）2－（a－b）2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab ∵a＝m2,b＝n2,∴4ab＝4m2n2】 且（2mn）2＝4m2n2 ∴（m2＋n2）2－（m2－n2）＝（2mn）2 即（m2＋n2）2＝（m2－n2）＋（2mn）2 即这三个数是勾股数.