已知集合M={x|f(x)-x=0,x属于R},集合N={x|f[f(x)]-x=0,x属于R},f(x)是一个二次项系数为1的二次函数

题目

已知集合M={x|f(x)-x=0,x属于R},集合N={x|f[f(x)]-x=0,x属于R},f(x)是一个二次项系数为1的二次函数
已知：集合M={x|f(x)-x=0,x属于R},集合N={x|f[f(x)]-x=0,x属于R},f(x)是一个二次项系数为1的二次函数 求：1：M与N的关系 2：若M是单元素集合,求证M=N

答案

1)M∈N证明：如果 f(x)－x=0无解时M为空集,肯定是N的子集!当 f(x)－x=0只有一个解时,不妨设为x0,则f(x0)=x0,很明显f[f(x0)]=f(x0)=x0即x0也是f「f(x)」－x=0的解!当 f(x)－x=0有两个解时,不妨设为x1.x2则有f(x)-x=(x-x1)(x-x2),故f(x)=(x-x1)(x-x2)+x由x1.x2是f(x)=x的解有f(x1)=x1.f(x2)=x2.因此f[f(x1)]=f(x1)=x1,f[(x2)]=f(x2)=x2也就说明x1.x2也是f「f(x)」－x=0的解,但是当f「f(x)」－x=0的最高次是4次,理论上它的根是多于2个的 !因此m是n的子集!2)要证明M=N,只需证明M∈N且N∈M,在第一问中已经证明M∈N,所以只需证明N∈M.M是单元素集合,设x0为解（为M中的元素）,则f[f(x0)]=f(x0)=x0即x0也是N中的元素!