根据条件,分别求出椭圆的方程: (1)中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为1/2,长轴长为8; (2)中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2组成

根据条件,分别求出椭圆的方程: (1)中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为1/2,长轴长为8; (2)中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2组成

题目
根据条件,分别求出椭圆的方程:

(1)中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为
1
2
,长轴长为8;
(2)中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2组成的三角形的周长为4+2
3
,且F1BF2
3
答案
(1)∵椭圆的长轴长为8,即2a=8,
∴a=4,∵离心率为
1
2
,即e=
c
a
=
1
2
,∴c=2
∵b2=a2-c2,∴b2=16-4=12,
当椭圆焦点在x轴上时,椭圆方程为
x2
16
+
y2
12
=1

当椭圆焦点在y轴上时,椭圆方程为
y2
16
+
x2
12
=1

所求椭圆方程为:
x2
16
+
y2
12
=1
y2
16
+
x2
12
=1

(2)设长轴为2a,焦距为2c,则在△F2OB中,由F2BO=
π
3
得:c=
3
2
a

所以△F2OF1的周长为:2a+2c=4+2
3
,∴a=2,c=
3
,∴b2=1
故得:
x2
4
+y2=1
(1)先求出椭圆中的长半轴长和短半轴长,再判断焦点位置,因为焦点位置不确定,所以求出的椭圆方程有两种形式.
(2)结合函数图形,通过直角三角形△F2OB推出a,c的关系,利用周长得到第二个关系,求出a,c然后求出b,求出椭圆的方程.

椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.

本题主要考查考察查了椭圆的标准方程的求法,关键是求出a,b的值,易错点是没有判断焦点位置.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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