已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐进线分别交于a,b两点,若三角形AOB的面积为2ab,则双曲线的离心率为

题目

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐进线分别交于a,b两点,若三角形AOB的面积为2ab,则双曲线的离心率为

答案

(1)显然a=√2且b=√2.因此c=√(a^2+b^2)=2.F是(2,0).而双曲线右支的准线l是x=1.设A的坐标是(u,v),B的坐标是(u',v'),则(u-2)/v=(u'-2)/v'.向量CA与向量CB的数量积为(u-1)(u'-1)+vv'=uu'+vv'-u-u'+1.令u-2=kv,则u'-2=kv'.显然v和v'是方程(k²-1)x²+4kx+2=0的根.由于双曲线的渐近线是y=x和y=-x,所以要想动直线和双曲线有两个交点必有-1(2)M的坐标可以求出为(k(v+v')+2,v+v').令k(v+v')+2=x,v+v'=y,显然y=4k/(1-k^2).x=ky+2.因此k=(x-2)/y.带入
y=4k/(1-k^2)得(x^2-y^2-4)y=0.又y=0时k=0.此时x=2.因此可以化为x^2-y^2=4.又k在（-1,1）上变动时y可以取任何实数.x只能取正数,因此轨迹是x^2-y^2=4的右分支