在△ABC中,AD是中线,O为AD的中点,直线a过点O,过A、B、C三点分别作直线a的垂线,垂足分别为G、E、F,当直线a绕点O旋转到与AD垂直时(如图1),易证:BE+CF=2AG, 当直线a绕点O
题目
在△ABC中,AD是中线,O为AD的中点,直线a过点O,过A、B、C三点分别作直线a的垂线,垂足分别为G、E、F,当直线a绕点O旋转到与AD垂直时(如图1),易证:BE+CF=2AG,
当直线a绕点O旋转到与AD不垂直时,在图2、图3两种情况下,线段BE、CF、AG又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对图3的猜想给予证明.
答案
(1)猜想结果:图2结论为BE+CF=2AG,图3结论为BE-CF=2AG.(2)证明:连接CE,过D作DQ⊥l,垂足为Q,交CE于H(图4),∵∠AGO=∠DQO=90°,∠AOG=∠DOQ(对顶角相等),且O为AD的中点即AO=DO,∴△AOG≌△DOQ(AAS...
(1)据图片可做猜测图2为BE+CF=2AG,图3为BE-CF=2AG;
(2)证明图3中BE-CF=2AG,可以连接CE,过D作DQ⊥l,垂足为Q,交CE于H,根据∠AGO=∠DQO=90°,∠AOG=∠DOQ(对顶角相等),且O为AD的中点即AO=DO,所以△AOG≌△DOQ,得到AG=DQ;又因为BE∥DH∥FC,AD是中线,可得BE=2DH,CF=2QH,所以BE-CF=2(DQ+QH)-2QH=2DQ=2AG.
全等三角形的判定与性质.
本题主要考查全等三角形的判定,涉及到中位线的性质、平行线的性质,垂线的性质等知识点,正解画出辅助线是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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