已知集合M={x|f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x|f[f(x)]-x=0,x∈R},其中f(x)是一个二次项系数系数为1的二次函数. (1)判断M与N的关系; (2)若M是单元素集合,求证:

已知集合M={x|f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x|f[f(x)]-x=0,x∈R},其中f(x)是一个二次项系数系数为1的二次函数. (1)判断M与N的关系; (2)若M是单元素集合,求证:

题目
已知集合M={x|f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x|f[f(x)]-x=0,x∈R},其中f(x)是一个二次项系数系数为1的二次函数.
(1)判断M与N的关系;
(2)若M是单元素集合,求证:M=N.
答案
(1)对于任意的x∈M,则f(x)=x,∴f[f(x)]-x=f(x)-x=0;
即任意的x∈M,都有x∈N,∴M⊆N;
若设0∈N,设f(x)=x2+bx+c,f(0)=c,f[f(0)]=f(c)=c(c+b+1),可以让c+b+1=0,而c≠0;
即f[f(0)]=0,而f(0)≠0,∴0∉M;
∴M⊊N;
(2)证明:设x1∈M,x1∈N,x2∈N,f(x2)=t;
则:f[f(x2)]-x2=0,即f(t)-x2=0,f(t)=x2
∵M是单元素集合,所以x1是方程:f(x)-x=x2+(b-1)x+c=0的唯一实根;
令g(x)=x2+(b-1)x+c,则该函数值域为[0,+∞),只有x=x1时,g(x)=0;
则由f(x2)=t得,x22+bx2+c=t,∴x22+(b-1)x2+c=t-x2>0,即t>x2
由f(t)=x2得,t2+bt+c=x2,∴t2+(b-1)t+c=x2-t≥0,即x2≥t;
∴t>x2和x2≥t不可能,即x2∉N,即M,N都只有一个元素x1
∴M=N.
(1)容易得到,任意的x∈M,都有x∈N,所以M⊆N,并且可说明,若0是N的元素,则0可以不是M的元素,所以M⊊N;
(2)假设集合M只含一个元素x1,由(1)知x1也是N的元素,除x1外假设N还有一个元素x2,然后推导出矛盾即可说明不存在x2∈N,即N只有一个元素x1,所以M=N.

集合的包含关系判断及应用.

考查复合函数的概念,子集的概念,真子集的概念,二次函数的值域.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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