如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，平面ABCD⊥平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点，若两个正方形的顶点都在球O上，且球O的表面积为12π，则MN的长为_．

题目

如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，平面ABCD⊥平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点，若两个正方形的顶点都在球O上，且球O的表面积为12π，则MN的长为______．

答案

由题意，
∵球O的表面积为12π，
∴球的半径为

3

，
∵两个正方形的顶点都在球O上，
∴正方形的边长为2．
取CD中点O，连接ON，则
∵两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，平面ABCD⊥平面DCEF，M为AB的中点，
∴MO⊥平面DCEF，
∴MO⊥ON，
∵MO=2，ON=

2

，
∴MN=

6

．
故答案为：

6

．

求出球的半径，可得正方形的边长，利用两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，平面ABCD⊥平面DCEF，M为AB的中点，可得MO⊥平面DCEF，利用勾股定理，即可得出结论．

本题考点：点、线、面间的距离计算．

考点点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查球O的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．