如图，在△ABC中，AC=BC，F为边AB上的一点，BF：AF=m：n（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于点E． （1）求BE：EC的值；（2）若BE=2EC，那么CF所在的直线与边

题目

如图，在△ABC中，AC=BC，F为边AB上的一点，BF：AF=m：n（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于点E．

（1）求BE：EC的值；
（2）若BE=2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论．
（3）E点能否成为BC中点？若能，求出相应的m：n，若不能，证明你的结论．

答案

（1）如图，过点F作FG∥BC交AE于G，则∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，∵D是CF的中点，∴CD=DF，在△DCE和△DFG中，∠DFG=∠DCEDF=CD∠GDF=∠EDC，∴△DCE≌△DFG（ASA），∴EC=GF，∵BF：AF=m：n，∴AFAB=nm+n，∵FG∥B...

（1）过点F作FG∥BC交AE于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，再根据中点定义可得CD=DF，然后利用“角角边”证明△DCE和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=GF，然后求出

AF

AB

，再求出△AFG和△ABE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到

FG

BE

，从而得到BE：EC；
（2）求出BE：EC，然后代入（1）的关系式计算即可求出m=n，从而得到点F是AB的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质解答；
（3）假设成立，求出BE：EC，然后代入（1）的关系式计算即可求出m=0，与已知条件矛盾．

本题考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线，构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键．