设α、β是方程acosx+bsinx=c(a^2+b^2≠c)在区间(0,π)内的两个相异实根,求证:sin(α+β)=2ab/(a^2+b^2)?

题目

设α、β是方程acosx+bsinx=c(a^2+b^2≠c)在区间(0,π)内的两个相异实根,求证:sin(α+β)=2ab/(a^2+b^2)?

答案

acosα＋bsinα＝acosβ＋bsinβa(cosα－cosβ)＋b(sinα－sinβ)＝0－2asin((α＋β)/2)sin((α－β)/2)＋2bcos((α＋β)/2)sin((α－β)/2)＝0sin((α－β)/2)≠0所以,tan((α＋β)/2)＝b/asin((α＋β)))＝2tan(...