方程-log3x=x+2的根所在的区间为(  ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

方程-log3x=x+2的根所在的区间为(  ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

题目
方程-log3x=x+2的根所在的区间为(  )
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
答案
构建函数f(x)=x+2+log3x,则函数的定义域为(0,+∞)
求导函数f′(x)=1+
1
xln3
,则f′(x)>0
∴函数在(0,+∞)上单调增
∵f(1)>0,x→0,f(x)→-∞
∴f(x)=x+2+log3x的零点所在区间为(0,1)
∴方程-log3x=x+2的根所在的区间为(0,1)
故选A.
构建函数,确定函数的定义域,求导函数,判断函数在定义域上为单调增函数,再用零点存在定理判断即可.

函数的零点与方程根的关系.

本题考查方程与函数之间的联系,考查零点存在定理的运用,同时考查利用导数研究函数的单调性.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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