怎么证明2x^2 + y^2 = 3,x = y^2 ,是正交

题目

怎么证明2x^2 + y^2 = 3,x = y^2 ,是正交

答案

设方程:2x^2 + y^2 = 3 (1)为C1, 方程 x = y^2 (2)的图形为C2
由方程(1)对x求导:2*2x+2yy'=0. 求得:y'=-2x/y. 为区别,记为:y'1=-2x/y.
(2)对x求导:1=2yy', y'=1/(2y) ,为区别,记为: y'2=1/(2y)
y'1,y'2 分别表示两曲线在点(x,y)的曲线的斜率.
两曲线正交,是指在其交点处的切线互相垂直.而两直线垂直(当它们的斜率都存在时)的条件是其乘积为(-1). 此题,y=0时y'不存在,但显然不是其交点.
在其交点(x,y)处.(在交点处,坐标同时满足两个方程)
,考察:(y'1)*(y'2) = - [(2x)/y][1/2y]=- x/[y^2] =- x/x=-1 (注意到:(2) x=y^2)
即知两曲线正交